Question

如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（-2，0），O（0，0），B（0，2），把Rt△AOB绕着点O顺时针旋转90°得到Rt△BOC，（点A旋转到点B的位置），抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过B，C两点，与x轴的另一个交点为点D，顶点为点P，对称轴为直线x=3，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，CP，PD，BD，求四边形PCBD的面积；
（3）在抛物线上是否存在一点M，使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）由于抛物线的对称轴是x=3，可设抛物线的解析式为顶点式，即设y=a（x-3）2+k，又抛物线经过B（0，2），C（2，0），用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）如果设对称轴与x轴的交点为N，那么S四边形PCBD=S△BCD+S△pCD，根据三角形的面积公式即可求出四边形PCBD的面积；
（3）首先根据△MDC的面积等于四边形PCBD的面积，求出M点的纵坐标的绝对值，再由M点在抛物线y=x2-上，求出对应的x的值，进而得出点M的坐标．
【解析】
（1）由题意得：B（0，2），C（2，0），对称轴x=3，
设抛物线的解析式为y=a（x-3）2+k，
∵抛物线经过B（0，2），C（2，0），
∴2=9a+k，0=a+k（2分）
解得：a=，k=-，
∴y=（x-3）2-，
∴抛物线的解析式为y=x2-；

（2）设对称轴与x轴的交点为N，
由图可知：CD=2，
S△BCD=•CD•OB=×2×2=2，
S△pCD=CD•PN=CD•|Py|=×2×=，
∴S四边形PCBD=S△BCD+S△pCD=2+=；

（3）假设存在一点M，使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积．
即：S△MCD=S四边形PCBD，
CD•|My|=×，
|My|=，（6分）
又∵点M在抛物线上，
∴|x2-|=，
∴x2-=±，
∴x2-6x+8=±3，
∴x2-6x+5=0或x2-6x+11=0，
由x2-6x+5=0，
得x1=5，x2=1，
由x2-6x+11=0，
∵b2-4ac=36-44=-8＜0，
∴此方程无实根．
当x1=5时，y1=；当x2=1时，y2=．
∴存在一点M（5，），或（1，）使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积．