Question

如图，直线AB分别x，y轴正半轴相交于A（a，0）和B（0，b），直线交于y轴与点E，交AB于点F
（1）当a=6，b=6时，求四边形EOAF的面积
（2）若F为线段AB的中点，且AB=时，求证：∠BEF=∠BAO．

Answer

（1）小题先求出直线AB的解析式，再求出与直线EF的交点F的坐标（2，4），利用面积公式计算即可．（2）小题利用三角形的中位线性质和勾股定理求出a b的值，连接AE，证出AE=BE，进而得到EF⊥AB，利用角之间的关系即可出答案．
（1）【解析】
，
当x=0时，y=3，
∴E（0，3），
设直线AB的解析式是y=kx+b，
把A（6，0），B（0，6）代入y=kx+b得：，
解得：
∴直线AB的函数关系式是y=-x+6
直线EF和直线AB交于点F，方程组的解是，
∴F（2，4），
S四边形EOAF=S△OAB-S△EFB，
=×6×6-×（6-3）×2，
=15．
所以四边形EOAF的面积是15．

（2）【解析】
∵F为线段AB的中点，由三角形中位线定理得F（a，b），
又∵F在直线EF：上，
∴×a+3=b，
a=2b-12 ①
又∵AB=
∴a2+b2=，
∴（2b-12）2+b2=80，
整理得：5b2-48b+64=0，
解得b1=，b2=8，
当b=时，a＜0，不合题意，∴b=（舍去），
当b=8时，a=4
∴A（4，0）B（0，8），
∴OE=3，BE=5
连接EA，在RT△OAE中，OE=3，OA=4，
∴EA=5
∴EA=BE=5
∴△BEA是等腰三角形，
又∵F为线段AB的中点
∴EF⊥AB，
∴∠BEF=90°-∠EBF，
∠BAO=90°-∠OBA，
∵∠EBF=∠OBA
∴∠BEF=∠BAO．