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如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点E在斜边AB上,以AE为直径的⊙O与BC...

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点E在斜边AB上,以AE为直径的⊙O与BC相切于点D.
(1)求证:AD平分∠BAC.
(2)若AC=3,AE=4.
①求AD的值;②求图中阴影部分的面积.

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(1)连接DE,OD.利用弦切角定理,直径所对的圆周角是直角,等角的余角相等证明∠DAO=∠CAD,进而得出结论; (2)由三角形相似可以算出AD,阴影部分的面积等于扇形的面积-三角形的面积. (1)证明:连接DE,OD. ∵BC相切⊙O于点D, ∴∠CDA=∠AED.(1分) AE为直径,∠ADE=90°, AC⊥BC,∠ACD=90°, ∴∠DAO=∠CAD, ∴AD平分∠BAC. (2)【解析】 ①∵AE为直径, ∴∠ADE=∠C=90°. 又由(1)知∠DAO=∠CAD, ∴△ADE∽△ACD, ∴, ∵AC=3,AE=4, ∴, ∴. ②在Rt△ADE中,, ∴∠DAE=30°. ∴∠AOD=120°,DE=2. ∴==, ∴S阴影=S扇形AOD-S△AOD=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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