Question

已知在菱形ABCD中，E是BC的中点，且AG平分∠FAB．
（1）如图，当点F在边DC的延长线上时，试说明：AF=BC-CF；
（2）当点F与点C重合时，求∠B的度数，并说明理由；
（3）当点F在边DC上时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，请直接写出成立的结论；
（4）当∠B=90°时，请确定点F的位置（直接写出答案）．

Answer

（1）先由菱形的性质得出AB=BC=CD，由全等三角形的判定定理可知△ABE≌△GCE，AF=GF，进而可求出答案；
（2）当点F与点C重合时，可得BC=AB=CG=AC，即△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案；
（3）由点F在边DC上时，GF=GC+FC可进行判断；
（4）当∠B=90°时，此此菱形是正方形，此时点F在CD边上且CF=CD．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD，（1分）
∵E是BC中点，
∴易证△ABE≌△GCE，
∴AB=CG，（2分）
∵AG平分∠FAB，
∴易证AF=GF，（3分）
∵GF=GC-FC，
∴AF=BC-CF；（4分）

（2）当点F与点C重合时，同理可得BC=AB=CG=AC，（5分）
∴△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°；（6分）

（3）不成立（7分）
正确结论为：AF=BC+CF；（8分）

（4）当∠B=90°时，点F在CD边上且CF=CD．（10分）