Question

在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为（1，0）．将点P绕着原点O按逆时针方向旋转30°得到点P₁，延长OP₁到点P=2，使OP₂=2OP₁；再将点P₂绕着原点O按逆时针方向旋转30°得到点P₃，延长OP₃到点P₄，使OP₄=2OP₃；…如此继续下去．求：（1）点P₂的坐标；（2）点P₂₀₀₃的坐标．

Answer

（1）做P2⊥x轴于一点，利用30°的三角函数可求得P2的横纵坐标．
（2）应先找到各个点所在的象限或者坐标轴的位置．相邻的以奇数开头的两个点在同一直线上，可得到24个点将转一圈：即回到x轴．那么应让2003÷24=83…11可得所求的点在x轴的负半轴上．OP2003的长度应和OP2002的长度相等．∵OP2=21=2；OP4=22=4，∴OP2002=21001，进而可得点P2003的坐标．
【解析】
（1）设P2的坐标为（x，y），作P2M⊥x轴，垂足为M．
∵OP2=2OP1=2OPO=2×1=2．∠P2OM=30°，
∴y=MP2=2sin30°=1，x=OM=2cos30°=，
∴P2的坐标为（，1）；

（2）按照这样的变化规律，点P23、P24又回到了x轴的正半轴上，
∵2003=24×83+11，
∴点P2003落在x轴的负半轴上，
∵OP3=OP2=2，OP5=OP4=22，OP7=OP6=23，…
∴OP2003=OP2002=21001，
∴点P2003的坐标为（-21001，0）．