Question

如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线x=1，与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），C点坐标为（0，-3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点G（2，-3）是该抛物线上一点，点E是直线AG下方的抛物线上一动点，当点E运动到什么位置时，△AEG的面积最大？求出此时E点的坐标和△AEG的最大面积；
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据抛物线的对称轴方程及B点坐标，可求得A点坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）可分别过E、G作x轴的垂线，设垂足为F、H；那么△AGE的面积=△AEF的面积+四边形FHGE的面积-△AGH的面积，设出E点的坐标，即可表示出F点坐标及EF的长，根据上面所得出的面积计算方法，可得出关于△AGE的面积与E点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质，即可求出△AGE的最大面积及对应的E点坐标；
（3）分两种情况讨论：
①以MN为斜边，则Q点在MN的垂直平分线上，即Q点为抛物线对称轴与x轴交点，由此可得出Q点坐标；
②以MN为直角边；设出M、N的坐标，可表示出MN的长，由于△MNQ是等腰Rt△，则MN的长与M、N的纵坐标的绝对值相同，由此可求出M、N的坐标，也就求出了Q点的坐标．
【解析】
（1）∵抛物线的对称轴为x=1，且B（3，0），
∴A（-1，0）；
可设抛物线的解析式为：y=a（x-3）（x+1），则有：
（-3）×1×a=-3，a=1；
∴y=x2-2x-3（4分）

（2）当E运动到时有最大面积，最大面积是，理由如下：
过E作EF⊥x轴于F，过G作GH⊥x轴于H；
设E（x，y），则F（x，0），EF=-（x2-2x-3）
因为G（2，-3）所以GH=3
，S△AGH==

所以S△AGE=（6分）
当时，有最大值为；（7分
将代入y=x2-2x-3，
得；
所以E；（8分）

（3）存在，Q（1，0）或（）或（）理由如下（9分）
因为MN平行与x轴，
所以M、N关于x=1对称
①若NQ=QM，则Q必在MN的中垂线即对称轴x=1上，所以Q（1，0）（10分）
②若QN=MN，则∠QMN=90°，设M（m1，n1）
则有：N（2-m1，n1），MN=m1-（2-m1）=2m1-2
QN=|n1|，
所以|n1|=2m1-2，其中n1=m12-2m1-3
同理若QM=MN，QM=|n1|，n1=m12-2m1-3，
综上可得|n1|=2m1-2
解得；（12分）
∴Q1（，0），Q2（-，0），Q3（2+，0），Q4（2-，0）．
综上所述，存在符合条件的Q点，
且坐标为：Q1（，0），Q2（-，0），Q3（2+，0），Q4（2-，0），Q5（1，0）．