Question

对于一元二次方程ax²+bx+c=O（a≠0），下列说法：
①若a+c=0，方程ax²+bx+c=O必有实数根；
②若b²+4ac＜0，则方程ax²+bx+c=O一定有实数根；
③若a-b+c=0，则方程ax²+bx+c=O一定有两个不等实数根；
④若方程ax²+bx+c=O有两个实数根，则方程cx²+bx+a=0一定有两个实数根．
其中正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①③④

Answer

①由a+c=0得：a=-c，所以b2-4ac=b2+4c2≥0，故方程有实数根；
②由b2+4ac＜0可知4ac＜0，所以-4ac＞0，故可得出结论；
③由a-b+c=0得：b=a+c，所以b2-4ac=（a+c）2-4ac=（a-c）2≥0，故方程有实数根，但不一定有两个实数根．
④若方程ax2+bx+c=O有两个实数根，但c可能等于0，当c=0时，方程cx2+bx+a=0会变为一元一次方程，此时只有一个实数根．
【解析】
①∵a+c=0，
∴a=-c，
∴b2-4ac=b2+4c2≥0，
故方程有实数根；故①正确．
②∵b2+4ac＜0
∴4ac＜0，
∴-4ac＞0
∴b2-4ac＞0，
故方程ax2+bx+c=O一定有实数根，故②正确；
③∵a-b+c=0，
∴b=a+c，
∴b2-4ac
=（a+c）2-4ac
=（a-c）2≥0，
故方程有实数根，但不一定有两个实数根．
故③错误．
④若方程ax2+bx+c=O有两个实数根，
但c可能等于0，当c=0时，
方程cx2+bx+a=0会变为一元一次方程，
此时只有一个实数根．
故④错误．
故选A．