Question

如图，在平面直角坐标系中，以点M（-l，0）为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A、B、C、D，直线y=-x-与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．
（1）求⊙M的半径；

（2）如图，弦HQ交x轴于点P，且PD：PH=4：，求点P的坐标；

（3）如图，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点G，连接AG．过点M作MN⊥x轴交BK于N．是否存在这样的点K，使得AG=MK？若存在，请求出GN的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由于⊙O与直线相切，H为切点，所以∠EHM=90°，根据直线y=-x-的解析式分别令x=0，y=0求出E、F两点的坐标，即可求出OE、OF的长，由M点的坐标即可求出OM的长，利用两点间的距离公式求出E、F的长，由直角三角形的性质可判断出∠OEF的度数，根据EM的长即可求出MH的长；
（2）作HT⊥OC于T，构造直角三角形THP，结合△CMH为正三角形，利用勾股定理建立一元二次方程进行解答．
（3）假设存在这样的点K，根据其存在，若能求出GN的值，则证明假设成立，否则证明不存在这样的点K．
【解析】
（1）由直线y=-x-可知，E（-5，0）、F（0，-）
∴OE=5，OF=，
∵M点的坐标是（-1，0），
∴EM=OE-OM=5-1=4，
∴EF===2OF，
∴∠OEF=30°，
∴HM=EM=×4=2，
即⊙M的半径为2；

（2）作HT⊥OC于T，连接CH、MH，由（1）知△CMH为正三角形，
∴CT=1，TH=．设PD=4x，PH=x．
∵TH2+TP2=PH2，
∴3+（3-4x）2=7x2，
∴x1=2（舍），x2=；
∴PM=PD-MD=4×-2=；
又∵M（-1，0），
∴P的横坐标为-1-=-，
故P（-，0）．

（3）假设存在，则有AG=MK．作直径AR交BK于S，连接GR．
则△AGR≌△KMN，
∴GR=MN．则△GRS≌△MNS，于是GN=MR=2．