Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²-2x+c的图象与x轴交于A、B两点，点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，-3），点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当点P运动到抛物线顶点时，求四边形ABPC的面积；
（3）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）运用待定系数法将B（3，0），C（0，-3）两点的坐标代入y=ax2-2x+c，求出解析式即可；
（2）将四边形ABPC的面积，面积分割为S△AOC+S△OCP+S△OPB求出三个三角形的面积即可得出；
（3）根据菱形的性质，得出y=-，x的值，从而得出P点的坐标．
【解析】
（1）将B（3，0），C（0，-3）两点的坐标代入y=ax2-2x+c得：

解得：，
∴二次函数的表达式为：y=x2-2x-3；

（2）当点P运动到抛物线顶点时，连接AC，PC，PB，PO，做PM⊥AB，PN⊥OC，
∵二次函数的表达式为y=x2-2x-3；
∴P点的坐标为（1，-4），即PN=1，PM=4，还可得出OB=3，OC=3，AO=1，
∴四边形ABPC的面积=S△AOC+S△OCP+S△OPB
=×AO×OC+×PN×OC+PM×OB，
=×1×3+×1×3+×4×3，
=9；

（3）存在点P，使四边形POP′C为菱形，设P点坐标为（x，y），
PP′交CO于M，若使四边形POP′C是菱形，
则有PC=PO，连接PP′，则PM⊥CO于M，
∴OM=MC=，
∴y=-．
∴x2-2x-3=-，
解得：x1=，x2=（不合题意舍去），
∴P点的坐标为（ ，-）．