Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的OA边在x 轴上，OC边在y轴上，且B点坐标为（4，3）．动点M、N分别从点O、B同时出发，以1单位/秒的速度运动（点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动），过点N作NP∥AB交AC于点P，连接MP．
（1）直接写出OA、AB的长度；
（2）试说明△CPN∽△CAB；
（3）在两点的运动过程中，请求出△MPA的面积S与运动时间t的函数关系式；
（4）在运动过程中，△MPA的面积S是否存在最大值？若存在，请求出当t为何值时有最大值，并求出最大值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由矩形的性质，以及B点坐标为（4，3），可直接的出OA、AB的长度；
（2）根据过点N作NP∥AB交AC于点P，直接可得出三角形相似；
（3）用t表示出P点的坐标，可以得出S的关系式；
（4）利用公式可直接得出当t=-=2时，二次函数有最大值．
【解析】
（1）∵矩形ABCO的OA边在x 轴上，OC边在y轴上，且B点坐标为（4，3）
∴OA=4，AB=3；

（2）∵NP∥AB，
∴△CPN∽△CAB；

（3）∵P点的横坐标是4-t，
求出CA的直线为y=-3x/4+3，代入P的横坐标得到P的纵坐标，
所以P的坐标为（4-t，3t/4）
∴S△MPA=MA×yP÷2=×（4-t）×=-t2+t，t≤4

（4）由S关于t的函数S=-t2+t，
当t=-=2时，二次函数有最大值=．