Question

如图，已知直线l的函数表达式为y=-x+8，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位的速度向点A移动，同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位的速度向O点移动，设点Q、P移动时间为t秒．
（1）求点A、B的坐标．
（2）当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？
（3）求出（2）中当以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似时，线段PQ的长度．

Answer

（1）小题利用X轴 Y轴的坐标特点代入y=-x+8，即可求出点A、B的坐标；
（2）（3）小题由已知相似得到比例式，代入即可求出t和PQ的长度，注意（2）（3）都有两种情况．
【解析】
（1）y=-x+8，
当x=0时，y=8，
当y=0时，x=6，
答案为：点A的坐标为：（6，0），点B的坐标为：（0，8）．

（2）此题有两种情况：
在△ABO中∠BOA=90°，OA=6，OB=8，由勾股定理得：AB=10，
∵∠BAO=∠BAO，BQ=2t，AQ=10-2t，AP=t，
第一种情况：
=时，△AQP∽△ABO，
即=，
解得：t=，
第二种情况：
当=时△AQP∽△AOB，
即=，
解得：t=．
答案为：当t为或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似．

（3）∵以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似，
当t=时，
=，
 解得：PQ=
 当t=时，
 =，
 解得PQ=，
答案为：当以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似时，线段PQ的长度是或．