Question

如图，△ABC内接于⊙O，弦CD平分∠ACB，交弦AB于E．
（1）弦AD和BD相等吗？为什么？
（2）写出图中的3对相似三角形，并证明其中的一对．

Answer

（1）由弦CD平分∠ACB，得到∠ACD=∠BCD，根据圆周角定理得到弧AD=弧BD，再根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等得到AD=BD；
（2）根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可得到△ACE∽△DBE，△ADE∽△CBE，△ACD∽△ECB．证明△ACD∽△ECB，由∠ACD=∠BCD，∠ADC=∠ABC，即可证明△ACD∽△ECB，
【解析】
（1）弦AD=BD．理由如下：
∵弦CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴弧AD=弧BD，
∴AD=BD；

（2）△ACE∽△DBE，△ADE∽△CBE，△ACD∽△ECB．
∵∠ACD=∠BCD，∠ADC=∠ABC，
∴△ACD∽△ECB．