Question

如图，直角坐标系中，已知A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发，沿BO向终点O移动；动点Q从点A点出发，沿AB向终点B移动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位．设从出发起运动了x秒．
（1）点P的坐标是（______，______）；
（2）点Q的坐标是（______，______）；
（3）x为何值时，△APQ是以AP为腰的等腰三角形？

Answer

（1）根据P的行走路程可以计算P的坐标；
（2）根据勾股定理分别求Q的横坐标和纵坐标；
（3）根据勾股定理计算AP、AQ的长度，当AP=AQ时，可得△APQ是以AP为腰的等腰三角形．
【解析】
（1）x秒点P行走的距离为x，则OP=5-x，
故点P的坐标是（5-x，0）；

（2）作AD⊥OB，QE⊥OB，则△BAD∽△BQE，

即=，=，
∵AD=4，OD=2，OB=5，
∴BD=3，
∴AB=5，
在x秒Q点行走距离为x，则AQ=x，BQ=5-x，
∴，，
∴BE=3-x，QE=4-x，
∴OE=OB-BE=5-（3-x）=2+，
则点Q的坐标是（2+，4-）；

（3）由题意，AP2=（5-x-2）2+42=x2-6x+25，
AQ2=+=x2，
PQ2=+
=-16x+25．
若AP=AQ，则x=；
若AP=PQ，则x1=，x2=0（舍去）
故x=或秒时，△APQ是以AP为腰的等腰三角形．
故答案为（1）点P的坐标是（5-x，0）；（2）点Q的坐标是（2+，4-）；（3）x=或秒时，△APQ是以AP为腰的等腰三角形．