Question

如图1，直线y=-x+与两坐标轴交于A、B，以点M（1，0）为圆心，MO为半径作小⊙M，又以点M为圆心、MA为半径作大⊙M交坐标轴于C、D．
（1）求证：直线AB是小⊙M的切线．
（2）连接BM，若小⊙M以2单位/秒的速度沿x轴向右平移，大⊙M以1单位/秒的速度沿射线BM方向平移，问：经过多少秒后，两圆相切？
（3）如图2，作直线BE∥x轴交大⊙M于E，过点B作直线PQ，连接PE、PM，使∠EPB=120°，请你探究线段PB、PE、PM三者之间的数量关系．

Answer

（1）过M作MF⊥AB于F，证△MFA∽△BOA，推出=，代入求出MF，即可得出直线AB是小⊙M的切线．
（2）设经过t秒后两圆相切，则两圆的新圆心均可以表示出来，在分两种情况讨论：外切与内切，根据两圆相切时半径的关系即可求解．
（3）作辅助线连接BM和EM，则在△BCM中，∠BCM=60°，同理∠EMA=60°，∴∠BME=60°，证P、B、M、E四点共圆，推出∠PBE=∠PME，证出△PNE是等边三角形，推出PE=EN，∠PEN=60°，求出∠ENM=∠EPB，证△PBE≌△NME，推出MN=PB，
由此可容易得出PB、PE、PM三者之间的数量关系．
【解析】
（1）∵直线y=-x+与两坐标轴交于A、B，∴A（3，0），B（0，），MO=1，
过M作MF垂直AB于F，
则∠MFA=∠BOA=90°，
∵∠FAM=∠OAB，
∴△MFA∽△BOA，
∴=，
∵A（3，0），B（0，），M（1，0），
∴OA=3，OB=，OM=1，
∴AM=3-1=2，由勾股定理得：AB=2，
∴=，
MF=1=OM，
∵MF⊥AB，
∴直线AB是小⊙M的切线．

（2）小⊙M以2单位/秒的速度沿x轴向右平移，圆心M（1，0），则移动t秒后的圆心变为（2t+1，0）；
因为B（0，），M（1，0），
所以直线BM的解析式为：y=-x+，
又因为大⊙M以1单位/秒的速度沿射线BM方向平移，圆心M（1，0），则移动t秒后的圆心变为（1+t，-t），
①当两圆外切时，两圆心距离为两圆半径的和即：=OM+MA=OA=3，
解得t=秒，
②当两圆内切时，两圆心距离为两圆半径的差即：=1，
解得t=秒，

（3）如下图作辅助线：ME=2，OB=，在△BCM中，∠BMO=60°，同理∠EMA=60°，
则∠BME=60°，
又∵∠EPB=120°，
∴∠EPB+∠BME=180°，
∴PBME四点共圆，
∵BM=ME，
∴∠BPM=∠EPM=60°，
在PM上截取PN=PE，连接NE，
∵∠EPM=60°，PE=PN，
∴△PNE是等边三角形，
∴PE=EN，∠PEN=60°，
∴∠ENM=60°+60°=120°=∠EPB，
∵∠PBE=∠NME（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
在△PBE和△NME中
∵，
∴△PBE≌△NME（AAS），
∴PB=NM，
∴PM=PN+NM=PE+PB．
∴PB、PE、PM三者之间的数量关系为：PM=PB+PE．