Question

在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，AC=1，∠ACD=60°，则四边形ABCD的面积为    ．

Answer

首先过A点分别作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F构造△AEB，通过角边角定理证得△AEB≌△AFD．再根据若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆判定ABCD四点共圆．从而证得△ABD是等边三角形．最后根据正弦定理求得S△AEC、S△AEC进而求得四边形ABCD的面积．
【解析】
过A点分别作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，连接BD，

∵∠ADF+∠ABC=180°，且∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠ADF=∠ABE，且A，B，C，D四点共圆，
又∠ACD=60°，
∴∠ABD=∠ACD=60°，又AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD=60°，
∴∠EAF=∠EAB+∠BAF，∠BAD=∠FAD+∠BAF，
∴∠EAF=∠BAD=60°，
∴∠EAC=180°-60°=120°，
∴∠AEC=60°，
∴S△AEC=EC•AE=AB•sin60°•AB•cos60°=，
同理S△AFC=，
在△ABE与△ADF中，
∵∠ADF=∠ABE，AB=AD，∠AEB=∠AFD，
∴△AEB≌△AFD，
∴S四边形ABCD=S四边形AECF=S△AEC+S△AFC=+=．
故答案为：．