Question

如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于    ．

Answer

首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可证得△DEF是正三角形，又由直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF：AB=1：，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果．
【解析】
∵△ABC是正三角形，
∴∠B=∠C=∠A=60°，
∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，
∴∠AFE=∠CED=∠BDF=90°，
∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°，
∴∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，，
∴△DEF是正三角形，
∴BD：DF=1：①，BD：AB=1：3②，△DEF∽△ABC，
①÷②，=，
∴DF：AB=1：，
∴△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1：3．
故答案为：1：3．