Question

如图一，在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆O₁和半圆O₂，其中O₁和O₂分别为两个半圆的圆心．F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点．
（1）连接O₁F，O₁D，DF，O₂F，O₂E，EF，证明：△DO₁F≌△FO₂E；
（2）如图二，过点A分别作半圆O₁和半圆O₂的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连接PQ，若∠ACB=90°，DB=5，CE=3，求线段PQ的长；
（3）如图三，过点A作半圆O₂的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连接PA．证明：PA是半圆O₁的切线．

Answer

（1）利用中位线定理可得∠BO1F=∠CO2F，进而可得∠DO1F=∠FO2E，易得O1F=AO2=O2E，O2F=AO1=O1D，可得：△DO1F≌△FO2E；
（2）易得△ACE和△ACQ，△ABD，△APD均为等腰直角三角形，那么可得AB，AC的长，利用勾股定理可得BC的长，利用顶点A及AB边构造和△PAQ全等的三角形AGB，利用勾股定理求得BG的长即为PQ的长；
（3）需证∠6+∠8=90°，那么证明∠5+∠7=90°即可；利用四点共圆的性质可得△DBR≌△DAM，进而可得∠5=∠9，即可求证．
（1）证明：如图一，

∵O1，O2，F分别是AB，AC，BC边的中点，
∴O1F∥AC且O1F=AO2，O2F∥AB且O2F=AO1，
∴∠BO1F=∠BAC，∠CO2F=∠BAC，
∴∠BO1F=∠CO2F
∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点，
∴O1F=AO2=O2E，O2F=AO1=O1D，
∠BO1D=90°，∠CO2E=90°，
∴∠BO1D=∠CO2E．
∴∠DO1F=∠FO2E．
∴△DO1F≌△FO2E；

（2）【解析】
如图二，延长CA至G，使AG=AQ，连接BG、AE．

∵点E是半圆O2圆弧的中点，
∴AE=CE=3
∵AC为直径
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=∠EAC=45°，AC==，
∵AQ是半圆O2的切线，
∴CA⊥AQ，
∴∠CAQ=90°，
∴∠ACE=∠AQE=45°，∠GAQ=90°，
∴AQ=AC=AG=，
同理：∠BAP=90°，AB=AP=，
∴CG=，∠GAB=∠QAP，
∴△AQP≌△AGB．
∴PQ=BG，
∵∠ACB=90°，
∴BC==，
∴BG==，
∴PQ=；

（3）如图三，设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CS⊥MF于S，过B作BR⊥MF于R，连接DR、AD、DM．

∵F是BC边的中点，∴S△ABF=S△ACF．
∴BR=CS，
由（2）已证∠CAQ=90°，AC=AQ，
∴∠2+∠3=90°
∵FM⊥PQ，∴∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠3，
同理：∠2=∠4，
∴△AMQ≌△CSA，
∴AM=CS，
∴AM=BR，
同（2）可证AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°，
∴∠ADB=∠ARB=90°，∠ADP=∠AMP=90°
∴A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上，A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上，
且∠DBR+∠DAR=180°，
∴∠5=∠8，∠6=∠7，
∵∠DAM+∠DAR=180°，
∴∠DBR=∠DAM
∴△DBR≌△DAM，
∴∠5=∠9，
∴∠RDM=90°，
∴∠5+∠7=90°，
∴∠6+∠8=90°，
∴∠PAB=90°，
∴PA⊥AB，又AB是半圆O1直径，
∴PA是半圆O1的切线．