Question

已知：关于x的一元二次方程x²-（2m+1）x+m²+m-2=0．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x₁，x₂满足，求m的值．

Answer

（1）方程总有两个不相等的实数根的条件是△＞0，由△＞0可推出m的取值范围．
（2）欲求m的值，先把代数式变形为两根之积或两根之和的形式，然后与两根之和公式、两根之积公式联立组成方程组，解方程组即可求m的值．
【解析】
（1）△=[-（2m+1）]2-4（m2+m-2）．
=4m2+4m+1-4m2-4m+8=9＞0
∴不论m取何值，方程总有两个不相等实数根．

（2）解法一：
根据根与系数的关系有x1+x2=2m+1，x1•x2=m2+m-2．
又．
∴．
整理得m2=4
解得m1=2，m2=-2
经检验m=-2是增根，舍去．
∴m的值为2．
解法二：
由原方程可得[x-（m-1）][x-（m+2）]=0
∴x1=m+2，x2=m-1
又∵
∴
∴m=2
经检验：m=2符合题意．
∴m的值为2．