Question

A题：载着“点燃激情，传递梦想”的使用，6月2日奥运圣火在古城荆州传递，途经A、B、C、D四地、如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东45°方向，在B地正北方向，在C地北偏西60°方向、C地在A地北偏东75°方向、B、D两地相距2km．问奥运圣火从A地传到D地的路程大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：）






B题：小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上．
（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；
（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC约为多少？（结果可保留根号）

Answer

A、过点B作AD边上的高F；过点B作CD边上的高BG，把斜三角形转化为两个特殊的直角三角形（含30°和45°）来解答；
B、过点P作AC边上的高，把含30°、45°的斜三角形和含45°、60°的斜三角形转化为两个特殊的直角三角形解答．
【解析】
A、过点B作AD边上的高BF；过点B作CD边上的高BG．
∵C地在A地北偏东75°方向，
∴∠DAC=75°-45°=30°，
∴∠ABF=90°-30°=60°．
又∵DB为南北方向，
∴∠ABD=180°-75°=105°，
∴∠FBD=105°-60°=45°，
又∵DB∥AE，
∴∠DBC=75°，
∴∠PCB=180°-75°=105°，
∴∠BCD=105°-60°=45°．
∵DB∥AE，
∴∠BDC=∠DCP=60°，
∴∠DBG=90°-60°=30°，
又∵DB∥AE，
∴DG=1，
∴BG==，
∴CG=•tan45°=，
BC==，
∵DB=2，
∴∠FBD=105°-60°=45°，
∴FB=2×sin45°=，
∴∠DAC=75°-45°=30°，
∴AB=2FB=2，
∴AB+BC+CG+GD=2+++1≈8千米．

B、（1）由题意可知，∠PBQ=30°，∠PAQ=45°，PQ⊥AB，PQ=10m，
在Rt△APQ中，∵∠PAQ=45°，∴PQ=AQ=10m，
在Rt△BPQ中，∵∠PBQ=30°，∴BQ==10m，
∴AB=米．
（2）过点P作AC边上的高交AC于E，
由（1）可知，△PAQ是等腰直角三角形，∴AP==10m，
∵∠PAQ=45°，∠CAD=75°，∴∠PAC=180°-45°-75°=60°，
∴∠APE=90°-60°=30°，AE=AP=5m，PE=AP•=10×=5m，
在Rt△PEC中，∵∠EPC=180°-∠BPQ-∠APQ-∠APE=180°-60°-45°-30°=45°，
∴PE=CE=5m，
∴AC=AE+CE=m；