Question

如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；
（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．依题意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得点B的坐标．设直线AB的解析式是y=kx+b，把已知坐标代入可求解．
（2）由△ABD由△AOP旋转得到，证明△ABD≌△AOP．AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等边三角形．利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函数求出BG=BD•cos60°，DG=BD•sin60°．然后求出OH，DH，然后求出点D的坐标．
（3）本题分三种情况进行讨论，设点P的坐标为（t，0）：
①当P在x轴正半轴上时，即t＞0时，关键是求出D点的纵坐标，方法同（2），在直角三角形DBG中，可根据BD即OP的长和∠DBG的正弦函数求出DG的表达式，即可求出DH的长，根据已知的△OPD的面积可列出一个关于t的方程，即可求出t的值．
②当P在x轴负半轴，但D在x轴上方时．即＜t≤0时，方法同①类似，也是在直角三角形DBG用BD的长表示出DG，进而求出GF的长，然后同①．
③当P在x轴负半轴，D在x轴下方时，即t≤时，方法同②．
综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值．
【解析】
（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．由已知得：
BF=OE=2，OF==，
∴点B的坐标是（，2）
设直线AB的解析式是y=kx+b（k≠0），则有．
解得．
∴直线AB的解析式是y=x+4；

（2）如图2，∵△ABD由△AOP旋转得到，
∴△ABD≌△AOP，
∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，
∴∠DAP=∠BAO=60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴DP=AP=．
如图2，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH．
方法（一）
在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．
∴BG=BD•cos60°=×=．
DG=BD•sin60°=×=．
∴OH=EG=，DH=
∴点D的坐标为（，）
方法（二）
易得∠AEB=∠BGD=90°，∠ABE=∠BDG，∴△ABE∽△BDG，
∴；而AE=2，BD=OP=，BE=2，AB=4，
则有，解得BG=，DG=；
∴OH=，DH=；
∴点D的坐标为（，）．

（3）假设存在点P，在它的运动过程中，使△OPD的面积等于．
设点P为（t，0），下面分三种情况讨论：
①当t＞0时，如图，BD=OP=t，DG=t，
∴DH=2+t．
∵△OPD的面积等于，
∴，
解得，（舍去）
∴点P1的坐标为（，0）．
②∵当D在x轴上时，根据勾股定理求出BD==OP，
∴当＜t≤0时，如图，BD=OP=-t，DG=-t，
∴GH=BF=2-（-t）=2+t．
∵△OPD的面积等于，
∴，
解得，，
∴点P2的坐标为（，0），点P3的坐标为（，0）．
③当t≤时，如图3，BD=OP=-t，DG=-t，

∴DH=-t-2．
∵△OPD的面积等于，
∴（-t）【-（2+t）】=，
解得（舍去），
∴点P4的坐标为（，0），
综上所述，点P的坐标分别为P1（，0）、P2（，0）、P3（，0）、
P4（，0）．