Question

如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A，B和C，D，
（1）AB和CD相等吗？为什么？
（2）若角的顶点P在圆上，或在圆内，本题的结论是否成立？请说明理由．

Answer

（1）分别过O作OG⊥AB，OH⊥CD，根据角平分线定理得到OG=OH，然后由垂径定理可以得到AB=CD；
（2）根据题意画出点P在圆上和圆内的情况，根据垂径定理可以证明结论成立．
【解析】
（1）相等．
如图：

作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，连接OA，OC，OB，OD．
AG=BG，CH=DH，
∵∠EPO=∠FPO，
∴OG=OH．
在Rt△OBG和Rt△ODH中，
由HL定理得：△OBG≌△ODH，
∴GB=HD，
∴AB=CD；

（2）点P在圆上，或在圆内，结论成立．
如图1：
顶点P在圆上，此时点P，A，C重合于点A，作OG⊥AB于G，OH⊥AD于H，
∴AG=GB，AH=HD，
∵∠EAO=∠DAO，
∴OG=OH．
在Rt△OAG和Rt△OAH中，由HL定理得：△OAG≌△OAH，
∴AG=AH，
∴AB=AD．
即点P在圆上，结论成立．
如图2：
顶点P在圆内，作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，则AG=GB，CH=HD，
∵∠EPO=∠FPO，
∴OG=OH，
∴GB=HD，
∴AB=CD．
即点P在圆内，结论成立．