Question

在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，2）．
（1）在平面直角坐标系中，我们把横坐标、纵坐标都为整数的点称为整数点，请在第一象限内求作一个整数点C，使得AC=BC，且AC的长为小于4的无理数，则C点的坐标是______，△ABC的面积是______；
（2）试求出△ABC外接圆的半径．

Answer

（1）作AB的垂直平分线，C在AB的垂直平分线上，由此得出答案，把△ABC的面积转化成能用点的坐标求的规则图形的面积如图，即可求出答案；
（2）作AB边上的高CD，设半径r，由勾股定理列出方程，即可求出答案．
【解析】
（1）作AB的垂直平分线，从图形中可以看出C点的坐标是C1（1，1），C2（5，5）
过A作AH⊥Y轴于H，过B作BM⊥Y轴于M，BF⊥X轴于F，过C作CG⊥Y轴于G，CE⊥X轴于E，
当C1（1，1）时，S△ABC=S梯形AHMB+S矩形BMOF-S梯形AHGC-S正方形OGCE-S梯形CEFB，
=×（2+4）×2+4×2-×（1+2）×（4-1）-1×1-×（1+2）×（4-1），
=4；
当C2（5，5）时，同法可求S△ABC=4；
故答案为：（1，1）和（5，5），4．

（2）如图，在△ABC中，作CD⊥AB于D，连接AE，E为圆心，
∵由勾股定理得：AC=BC=，AB=2，
∴CD=2，
设半径AE=CE=x，则x2=（）2+（2-x）2，
∴半径x=．
答：△ABC外接圆的半径是．