Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC、BC的长恰好为方程x²-14x+a=0的两根，且AC-BC=2，D为AB的中点．
（1）求a的值．
（2）动点P从点A出发，沿A→D→C的路线向点C运动；点Q从点B出发，沿B→C的路线向点C运动．若点P、Q同时出发，速度都为每秒2个单位，当点P经过点D时，点P速度变为每秒3单位，同时点Q速度变为每秒1个单位．当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围．

Answer

（1）由根与系数关系，得AC+BC=14，结合已知AC-BC=2，可求AC、BC的值，由AC•BC=a求a的值；
（2）由勾股定理得AB=10，则AD=5，当点P经过D点时，t=2.5，此时BQ=5，QC=BC-BQ=1，点Q到C点还需要1秒，根据时间段分别求S与t之间的函数关系式．
【解析】
（1）∵AC、BC的长为方程x2-14x+a=0的两根，
∴AC+BC=14，
又∵AC-BC=2，
∴AC=8，BC=6，
∴a=8×6=48；

（2）作PH⊥BC，垂足为H，
∵∠ACB=90°，
∴AB==10．
又∵D为AB的中点，
∴CD=AB=5．
当0＜t≤2.5时，由PH∥AC得=，即=，
解得PH=（10-2t），
S=×CQ×PH=（6-2t）×（10-2t）=1.6t2-12.8t+24，
当2.5＜t≤3.5时，
同理，得S=1.2t2-9.2t+17.5．