Question

解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）=120；
（4）．

Answer

（1）由于==1+，此时发现两个分式具备倒数关系，
设y=，则原方程另一个分式为1+，可用换元法转化为关于y的分式方程．先求y，再求x．结果需检验．
（2）观察发现方程左边三个分式的分母都是关于未知数x的二次三项式，且二次项都是x2，常数项都是-8，设y=x2+2x-8，可用换元法转化为关于y的分式方程．先求y，再求x．结果需检验．
（3）先运用乘法交换律与结合律将（x+1）与（x+4）相乘，（x+2）与（x+3）相乘，再设x2+5x+4=y，
则原方程化为y2+2y-120=0．用换元法解一元二次方程先求y，再求x．
（4）方程的两个分式具备平方关系，设x+=y，则原方程化为2y2-3y-5=0．用换元法解一元二次方程先求y，再求x．注意检验．
【解析】
（1）原方程可变形为+1+=，
+=．
令y=，则原方程可变为y+=，
解得y1=，y2=．
当y1=时，=，解得x=1；
当y2=时，=，解得x=．
经检验：x=1或都是原方程的解．
故原方程的解为x1=1，x2=，x3=．

（2）设x2+2x-8=y，则原方程可化为：++=0，
方程的两边同乘y（y+9x）（y-15x），整理得y2-4xy-45x2=0，
解得y=9x或y=-5x．
当y=9x时，x2+2x-8=9x，x2-7x-8=0，解得x1=8，x2=-1；
当y=-5x时，x2+2x-8=-5x，x2+7x-8=0，解得x3=-8，x4=1．
经检验：x1=8，x2=-1，x3=-8，x4=1都是原方程的解．
故原方程的解为x1=8，x2=-1，x3=-8，x4=1．

（3）[（x+1）（x+4）][（x+2）（x+3）]=120，
（x2+5x+4）（x2+5x+6）=120，
设x2+5x+4=y，则y（y+2）=120，
∴y2+2y-120=0，
解得y=10或y=-12．
当y=10时，x2+5x+4=10，x2+5x-6=0，解得x1=-6，x2=1；
当y=-12时，x2+5x+4=-12，x2+5x+16=0，△=25-64=-39＜0，故此方程无实根．
故原方程的解为x1=-6，x2=1．

（4）将原方程变形，得2（x+）2-4-3（x+）=1，
整理，得2（x+）2-3（x+）-5=0．
设x+=y，则原方程可化为：2y2-3y-5=0，
解得：y1=，y2=-1．
当y1=时，x+=，解得：x1=，x2=2；
当y2=-1时，x+=-1，即x2+x+1=0，△=1-4=-3＜0，故此方程无实根．
经检验：x1=，x2=2都是原方程的解．
故原方程的解为x1=，x2=2．