Question

如图，已知A、B、C、D在同一个圆上，BC=CD，AC与BD交于E，若AC=8，CD=4，且线段BE、ED为正整数，则BD=    ．

Answer

根据已知条件，易证△ABC∽△BEC，所以BC2=CE•AC，即可求得EC=2，AE=6，利用相交弦定理，可以确定BE•DE=12，又线段BE、ED为正整数，且在△BCD中，BC+CD＞BE+DE，所以可得BE=3、DE=4或BE=4、DE=3，所以BD=7．
【解析】
∵BC=CD，
∴∠BAC=∠DAC，
∵∠DBC=∠DAC，
∴∠BAC=∠DBC，
又∵∠BCE=∠ACB，
∴△ABC∽△BEC，
∴BC2=CE•AC，
∵AC=8，CD=4，
∴EC=2，AE=6，
由相交弦定理得，BE•DE=AE•EC，
即BE•DE=12，
又线段BE、ED为正整数，
且在△BCD中，BC+CD＞BE+DE，
所以可得BE=3、DE=4或BE=4、DE=3，
所以BD=BE+DE=7．
故答案为：7．