Question

已知：如图，ABCD为正方形，以D点为圆心，AD为半径的圆弧与以BC为直径的⊙O相交于P、C两点，连接AC、AP、CP，井延长CP、AP分别交AB、BC、⊙O于E、H、F、三点，连接OF．
（1）求证：△AEP∽△CEA；
（2）判断线段AB与OF的位置关系，并证明你的结论；
（3）求BH：HC．

Answer

（1）欲证△AEP∽△CEA，可以根据相似三角形的判断定理证明∠PAE=∠ACE，∠AEP=∠AEC得出；
（2）判断线段AB与OF的位置关系，根据平行线的判定证明∠B=∠ABC=90°得出AB∥OF；
（3）求BH：HC，由平行线的性质，及线段相互间的关系得出．
（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴∠CAB=∠ACB=45°，∠DCB=90°，
∴AB是⊙D的切线，A为切点，
∴∠BCE=∠CAP，
∴∠PAE=∠ACE，
∵∠AEP=∠AEC，
∴△PAE∽△ACE；

（2）【解析】
∵∠CPF=∠CAP+∠ACP=∠CAP+∠BAP=45°，
∴∠COF=90°，
∴∠BOF=90°，
∴∠BOF=∠B=90°，
∴AB∥OF；

（3）【解析】
∵AB∥OF，
∴BH：OH=AB：OF=2：1，
∵CO=OB=OH+HB，
∴BH：HC=2OH：4OH=1：2．