Question

如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程x²+2（k-2）x+k=0（k是整数）的最大整数根． P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与⊙O的交点．若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求PA²+PB²+PC²的值．

Answer

设方程x2+2（k-2）x+k=0的两个根为x1，x2，x1≤x2，x1，x2都是整数，因为BC=PC-PB为正整数，所以BC=1，2，3或4，讨论BC的值即可求得PA2+PB2+PC2的值，即可解题．
【解析】

设方程x2+2（k-2）x+k=0的两个根
为x1，x2，x1≤x2．由根与系数的关系得x1+x2=4-2k，①x1x2=k．②
由题设及①知，x1，x2都是整数．从①，②消去k，得2x1x2+x1+x2=4，（2x1+1）（2x2+1）=9．
由上式知，x2≤4，且当k=0时，x2=4，故最大的整数根为4．
于是⊙O的直径为4，所以BC≤4．
因为BC=PC-PB为正整数，所以BC=1，2，3或4．
连接AB，AC，因为∠PAB=∠PCA，所以△PAB∽△PCA，．
故PA2=PB（PB+BC）③
（1）当BC=1时，由③得，PA2=PB2+PB，于是PB2＜PA2＜（PB+1）2，矛盾！
（2）当BC=2时，由③得，PA2=PB2+2PB，于是PB2＜PA2＜（PB+1）2，矛盾！
（3）当BC=3时，由③得，PA2=PB2+3PB，于是（PA-PB）（PA+PB）=3PB，
由于PB不是合数，结合PA-PB＜PA+PB，
故只可能，，，
解得
此时PA2+PB2+PC2=21．
（4）当BC=4，由③得，PA2=PB2+4PB，于是（PB+1）2＜PB2+4PB=PA2＜（PB+2）2，矛盾．
综上所述PA2+PB2+PC2=21．