Question

如图，△ABC是等腰三角形，∠C=90°，O是△ABC内一点，点O到△ABC各边的距离等于1，将△ABC绕点O顺时针旋转45°得到△A₁B₁C₁，两三角形的公共部分为多边形KLMNPQ．
①证明：△AKL，△BMN，△CPQ都是等腰直角三角形．
②求证：△ABC与△A₁B₁C₁公共部分的面积．

Answer

（1）连接OC、OC1，分别交PQ、NP于点D、E，根据题意证得OC是∠ACB的平分线，然后根据等腰直角三角形的性质可判断出∴△CPQ和△C1NP都是等腰直角三角形，同理可证得△B1ML和△AKL也都是等腰直角三角形．
（2）将所求的面积分割，然后利用△ABC，△CPQ，△BMN，△AKL的面积，从而运用面积相减可得出答案．
证明：①连接OC、OC1，分别交PQ、NP于点D、E，根据题意得∠COC1=45°．
∵点O到AC和BC的距离都等于1，
∴OC是∠ACB的平分线．
∵∠ACB=90°∴∠OCE=∠OCQ=45°
同理∠OC1D=∠OC1N=45°
∴∠OEC=∠ODC1=90°
∴∠CQP=∠CPQ=∠C1PN=∠C1NP=45°
∴△CPQ和△C1NP都是等腰直角三角形．
∴∠BNM=∠C1NP=45°∠A1QK=∠CQP=45°，
∵∠B=45°∠A1=45°，
∴△BMN和△A1KQ都是等腰直角三角形．
∴∠B1ML=∠BMN=90°，∠AKL=∠A1KQ=90°
∴∠B1=45°∠A=45°
∴△B1ML和△AKL也都是等腰直角三角形．

②在Rt△ODC1和Rt△OEC中，
∵OD=OE=1，∠COC1=45°
∴OC=OC1=
∴CD=C1E=-1
∴PQ=NP=2（-1）=2-2，CQ=CP=C1P=C1N=（-1）=2-
∴
延长CO交AB于H
∵CO平分∠ACB，且AC=BC
∴CH⊥AB，
∴CH=CO+OH=+1
∴AC=BC=A1C1=B1C1=（+1）=2+，
∴，
∵A1Q=BN=（2+）-（2-2）-（2-）=2，
∴KQ=MN==，
∴，
∵AK=（2+）-（2-）-=，
∴，