Question

设a，b，c为实数，且a≠0，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且抛物线的顶点在直线y=-1上．若△ABC是直角三角形，则Rt△ABC面积的最大值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．3

Answer

先根据已知条件设出抛物线与x轴的交点，由射影定理的逆定理可求出c2=（-x1）x2=-x1x2，由根与系数的关系及抛物线的顶点坐标可求出4a=4+b2，且a≥1，再由三角形的面积公式及a的取值范围可求出其最大面积．
【解析】
设y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，c），c≠0，交x轴于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，
由△ABC是直角三角形知，点C必为直角顶点，且c2=（-x1）x2=-x1x2（射影定理的逆定理），
由根与系数的关系得，x1+x2=-，x1•x2=，
所以c2=-，c=-，
又=-1，即4a=4+b2，且a≥1，
所以S△ABC=|c|•|x1-x2|=，
=，
=≤1，
当且仅当a=1，b=0，c=-1时等号成立，因此，Rt△ABC的最大面积是1．
故选A．