Question

如图，在锐角△ABC内有一点P，直线AP，BP，CP分别交对边于Q₁，Q₂，Q₃，且∠PQ₁C=∠PQ₂A=∠PQ₃B．
试问：点P是否必为△ABC的垂心？如果是，请证明；如果不是，请举反例说明．

Answer

首先假设∠AQ1C=∠AQ2B=∠BQ3C=α，显然只要证明α=90°，即P是△ABC的垂心即可．因而根据若平面上四点连成四边形的一个外角等于其内对角，四点共圆．则P、Q1、C、Q2，P、Q2、A、Q3，P、Q3、B、Q1分别四点共圆．连接Q1Q2，根据圆内接四边形的对角和为180°，并且任何一个外角都等于它的内对角；同弧所对的圆周角相等．则可得到∠CQ2Q1=∠CPQ1=∠CBQ3，即可确定Q2、A、B、Q1四点共圆．观察图形根据∠AQ2B与∠AQ1B是同弧所对的圆周角，∠AQ1C与∠AQ1B两角互补．那么可求出∠AQ1C的度数．问题得解．
证明：设∠AQ1C=∠AQ2B=∠BQ3C=α，
∵∠AQ1C是四边形PQ3BQ1外角，∠AQ2B是四边形PQ1CQ2的外角，∠BQ3C是四边形PQ2AQ3的外角，
∴P、Q1、C、Q2，P、Q2、A、Q3，P、Q3、B、Q1分别四点共圆，
如图，连接Q1Q2，
∵∠CQ2Q1=∠CPQ1=∠CBQ3，
∴Q2、A、B、Q1四点共圆，
于是∠AQ2B=∠AQ1B，即α=180°-α=α，
∴α=90°，
∴P是△ABC的垂心．