Question

是否存在这样的正整数n，使得3n²+7n-1能整除n³+n²+n+1？请说明理由．

Answer

运用反证法得出（3n2+7n-1）整除{（n3+n2+n+1）+（3n2+7n-1）]=n（n2+4n+8），利用互素得出（3n2+7n-1）整除（n2+4n+8），得出3n2+7n-1≤n2+4n+8，从而确定n的取值．
【解析】
用反证法，假设存在一个正整数n，使得（3n2+7n-1），
整除n3+n2+n+1，则（3n2+7n-1）整除{（n3+n2+n+1）+（3n2+7n-1）]，
=n（n2+4n+8）．
∵n与3n2+7n-1互素，所以（3n2+7n-1）整除（n2+4n+8）．
从而，3n2+7n-1互素，所以，
（3n2+7n-1）整除（n2+4n+8）．
从而，3n2+7n-1≤n2+4n+8，即2n2+3n-9≤0，所以，n=1，但n=1并不满足题目的要求，矛盾．
因此，满足题目要求的正整数n不可能存在．