Question

设p为素数，k是正整数．求证：方程x²+px+kp-1=0至少有一个整数根的充分必要条件是k=1．

Answer

运用根与系数的关系，得出p与方程根的关系，利用整除性得出方程x2+px+kp-1=0至少有一个整数根的充分必要条件是k=1．
【解析】
充分性，若k=1，则方程有两个整数根，x1=1，x2=p-1；
必要性，设方程x2+px+kp-1=0有整数解x1和另一根x2，由根与系数的关系得：
x1+x2=-p，x1x2=kp-1．①
由①知x2也是整数根，假设k＞1，
（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=（k-1）p，②
因为p为素数，k-1＞0，由②得：p/x1+1，或p/x2+1，
不妨设p/x1+1，则有
其中m为正整数，且m整除k-1
由上式相加得：x1+x2+2=±（mp+）．
由①得：-p+2=±（mp+）③
若③中右边取正号，则有
（m+1）p+=2，
显然，此式左边大于2，矛盾，若③中右边取负号，则有
（m-1）p+2+=0
此式左边大于0，矛盾．
因此，k=1．