Question

设n为自然数，则n²+n+2的整除情况是（ ）
A．既不能被2整除，也不能被5整除
B．一定能被2整除，但不一定能被5整除
C．不能被2整除，但能被5整除
D．既能被2整除，又能被5整除

Answer

本题分是否能被2整除和能被5整除讨论．关于是否能被2整除，可分n为奇数还是偶数讨论，①令n=2k（k为大于零的自然数）时；①令n=2k+1（k为大于零的自然数）时，化简验证能被2整除．关于是否能被5整除，可采用举例法，即令n=3或5等，即可证明．
【解析】
∵n2+n+2=n（n+1）+2，
①令n=2k（k为大于零的自然数）时，则原式=2k（2K+1）+2=2（2k2+k+1），
可见n能被2整除．
②令n=2k+1（k为大于零的自然数）时，则原式=（2k+1）（2K+2）+2=2（2k2+3k+1），
可见n也能被2整除．
令n=1，代入n2+n+2=4，显然n不一定被5整除．
综合上面可知，n2+n+2一定能被2整除，但不一定能被5整除．
故选B．