Question

如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC，∠ACB的平分线分别交AC、AB于点D，E，CE、BD相交于点F，连接DE．下列结论：
①；②AB=BC；③；
④点F到△ABC三边的距离相等；⑤BE+CD=BC．
其中正确的结论是（ ）

A．②③④
B．②④⑤
C．①④⑤
D．①③④

Answer

利用三角形的内角和，角平分线的性质可得∠CFD=120°，所以∠BFE=60°，并且有条件易知F为三角形的内心，若想证明BE+CD=BC，只能给BE，CD找相等的线段代替，自然想到构造全等三角形．
【解析】
（1）∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD=∠CBD，∠ACE=∠BCE，
∴∠CBD+∠BCE=60°，
∴∠BFE=60°，
∴①，正确．
（2）∵∠ABC，∠ACB的平分线分别交AC、AB于点D，E，CE、BD相交于点F，
∴F为三角形的内心，
∴④点F到△ABC三边的距离相等正确．
（3）在BC上截取BH=BE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴△EBF≌△HBF，
∴∠EFB=∠HFB=60°．
由（1）知∠CFB=120°，
∴∠CFH=60°，
∴∠CFH=∠CFD=60°，
又∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴△CDF≌△CHF．
∴CD=CH，
∵CH+BH=BC，
∴⑤BE+CD=BC正确．
②AB=BC③只有在△ABC是等边三角形时才成立，现有条件无法证明△ABC是等边三角形，所以是错误的，
因此，①④⑤正确．
故选C．