过正方形ABCD的顶点A任引一直线交BC和DC的延长线于P、Q．求证：为定值．

过正方形ABCD的顶点A任引一直线交BC和DC的延长线于P、Q．求证： manfen5.com 满分网

为定值．

首先设正方形的边长为a，BP的长为x，根据相似三角形对应边的比相等，用含a和x的式子表示CQ，然后用勾股定理求出PQ2，再运用相似三角形对应边的比表示出和，进行计算证明得到+的值是一个定值，是正方形边长的平方分之一．证明：如图：设正方形的边长为a，BP=x，则CP=a-x， ∵△ABP∽△QCP，∴=，即：=，得：CQ=． PQ2=PC2+CQ2=（a-x）2+=． ∵==，∴=．又==，∴=． ∴+=+=． ∴+=•=•=．而a是正方形的边长，所以+为定值．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等