Question

在△ABC中，AB＞AC，∠A的外角平分线交△ABC的外接圆于D，DE⊥AB于E，求证：AE=（AB-AC）．

Answer

在BE上截取EG=AE，由DE⊥AB，则有DA=DG．只需证BG=AC即可，连接DC、DB、DFG从而只需证△DBG≌△DCA，而DA平分∠BAF，∠DGA=∠DAG=∠DAF，得到∠DGB=∠DAC，加上DG=DA，∠DBG=∠DCA，即可证明△DBG≌△DAC．
证明：在BE上截取EG=AE，连DC，DB，如图，
∵DE⊥AB，
∴DA=DG，
又∵DA平分∠BAF，
∴∠DGA=∠DAG=∠DAF，
∴∠DGB=∠DAC，而∠DBG=∠DCA，
∴△DBG≌△DCA，
∴BG=AC，
∴AB=2AE+AC．
即有AE=（AB-AC）．