Question

已知a，b为正整数，且满足，求a+b的值．

Answer

利用已知将方程整理为一元二次方程，结合方程根的情况，得出k的取值范围，再代入方程得出a+b的值．
【解析】
由49（a+b）=4（a2+ab+b2）及a，b都是正整数，
故存在正整数k，使a+b=4k①
从而a2+ab+b2=49k，
即（a+b）2-ab=49k，故ab=16k2-49k②
从而a，b是关于x的方程
x2-4kx+（16k2-49k）=0③（此也可视作把①代入②，整理成关于a的类似③的方程）
得两个正整数根．
由△=16k2-4（16k2-49k）≥0，
得0≤k≤，
∵k为正整数∴k=1，2，3，4．容易验证，
当k=1，2，3时，方程③均无正整数根；
当k=4时，方程③为x2-16x+60=0，
解得x1=10，x2=6．
故a+b=4k=16．