Question

如图，顶点坐标为（1，9）的抛物线交x轴于点A（-2，0）、B两点，交y轴于点C，过A、B、C三点的⊙O′交y轴于另一点D，交抛物线于另一点P，过原点O且垂直于AD的直线交AD于点H，交BC于点G．
（1）求抛物线的解析式和点G的坐标；
（2）设直线x=m交抛物线于点E，交直线OG于点F，是否存在实数m，使G、P、E、F为一个平行四边形的四个顶点？如果存在，求出m的所有值；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）已知顶点坐标为（1，9），设出二次函数的顶点式，代入点A坐标即可解答，进一步利用勾股定理、相交弦定理及射影定理求得点H坐标，求得直线OH解析式与直线BC联立方程即可求出点G坐标；
（2）利用平行四边形的判定PG平行且相等于EF，联立方程解答即可．
【解析】
（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）2+9，
把点A（-2，0）代入解析式解得a=-1，
因此函数解析式为y=-x2+2x+8；
点C为（0，8），B为（4，0），
由相交弦定理，得OA|•|OB|=|OC|•|OD|，即2×4=8×|OD|，|OD|=1，
∵点D在y轴的负半轴上，
∴点D的坐标为（0，-1）．
在Rt△AOD中，|OA|=2，|OD|=1，OH⊥AD，
∴由勾股定理，有AD==．
又∵|OA|•|OD|=|AD|•|OH|，
∴|OH|=，
∵|OA|2=|AH|•|AD|，即22=|AH|，
∴|AH|=4，
同理，由|OD|2=|DH|•|AD|，得|DH|=，
设点H（x，y），且x＜0，y＜0．
在Rt△AOH中，|AH|•|OH|=|y|•|OA|，
∴|y|=，
∴y=-在Rt△DOE中，|DH|•|OH|=|x|•|OD|，
∴|x|=，x=-，
∴点H的坐标是（-，-）．
设直线OH的方程为y=kx （k≠0）．
∵直线OH经过点H，
∴解得k=2，
∴直线OH的方程为y=2x；
由对称当得点P的坐标为（2，8），设直线BC的方程为y=kx+b （k≠0），
则有，解得，
∴直线BC的方程为y=-2x+8，联立方程组，
解得，
∴点G的坐标为（2，4）；

（2）∵点P（2，8），点G（2，4），
∴PG∥EF，
设点E的坐标为（m，-m2+2m+8），点F的坐标的（m，2m），
要使四边形PGEF为平行四边形，已知PQ∥EF，尚需条件|EF|=|PQ|，
由|（-m2+2m+8）-2m|=|8-4|=4，得|-m2+8|=4，
解得m=±2，或m=±而m=2，不合题意，应舍去，
∴存在实数m=-2，或m=使得以P、G、E、F为顶点的四边形为平行四边形．