根据二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（2，4），利用顶点法设该二次函数解析式为y=a（x-2）2+4．根据直线y=x+4依次与y轴和抛物线相交于P、Q、R三点，则可确定P点的坐标，并设Q、R点的坐标为（x1，y1）和（x2，y2）．根据两点间的距离公式与PQ：QR=1：3求得|x2|与|x1|的比值．直线y=x+4与抛物线相交于Q、R两点列出方程a（x-2）2+4=x+4，利用一元二次方程根与系数的关系，得到，求出x1、x2、a的值．因此抛物线即可确定．
【解析】
∵图象的顶点坐标是（2，4），
∴所以设y=a（x-2）2+4 ①，
P点的坐标是（0，4），设Q、R点的坐标为（x1，y1）和（x2，y2），
则y1=x1+4，y2=x2+4，
∴，
，
∵PQ：QR=1：3且P在QR之处，
∴PQ：PR=PQ：（PQ+QR）=1：4，即：=1：4，
∴|x2|=4|x1|②，
又x1，x2是抛物线与直线交点的横坐标，
∴a（x-2）2+4=x+4，即ax2-4（4a+1）x+4a=0，
∴，
由韦达定理，得，
由③得，x1、x2同号，再由②得 x2=4x1，
∴x1=±1，x2=±4，从④得a=1或，
∴y=x2-4x+8或，
答：这个二次函数解析式y=x2-4x+8或．
是通过一个定点，而且这些抛物线的顶点都在一条确定的抛物线上．
时，有最大值25，而方程ax2+bx+c=0的两根α、β，满足α3+β3=19，求a、b、c．
．