Question

已知：抛物线y=-x²+px+q交x轴于点A、B，交y轴于点C，又∠ACB=90°，tan∠CAO-tan∠CBO=2．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设平行于x轴的直线交抛物线于点M、N，是否存在以MN为直径且与x轴相切的圆？如果不存在，说明理由；如果存在，求出圆的半径．

Answer

（1）欲求抛物线的解析式，即求p、q的值，一方面，p、q与方程x2-px-q=0的两根有联系，另一方面q等于线段OC的长，而OC2=|OA|•|OB|，且|OA|、|OB|又是方程x2-px-q=0的两根的绝对值，这就使p与q能建立联系，从中求出p、q；
（2）本例是存在型问题，如果存在满足题设条件的圆，从图形直观看出；圆心必定在抛物线的对称轴上，且半径是圆心的纵坐标的绝对值．
【解析】
（1）设A、B两点的横坐标分别为x1，x2，则x1，x2是方程x2-px-q=0的两个根，且x1＜0＜x2，x1+x2=p，x1x2=-q＜0
∵在Rt△ABC中，OC为斜边AB上的高，
∴OC2=|OA|•|OB|=|x1x2|=q，
又∵OC2=q2，
∴q2=q，
因为抛物线不经过原点，∴q≠0，故q=1
由三角函数的定义和x1＜0＜x2，易得：
tan∠CAO=tan∠CBO=
由题设，得，
则x1+x2=-2x1x2，
∵x1+x2=p，x1x2=-q=-1，
∴p=2，
故抛物线得解析式为：y=-x2+2x+1；

（2）设点M、N的坐标为（x3，r），（x4，r），则x3，x4是方程r=-x2+2x+1，即-x2+2x+1-r=0的两个根．
∴x3+x4=2，x3x4=r-1，
∴，
∵圆与x轴相切（假设圆存在），
∴，即，
解方程得：r1=1或r2=-2，
∴所求圆的半径为1或2．