Question

如图，等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC的中点．将△ABC折叠，使A点与点D重合．若EF为折痕，则sin∠BED的值为    ，的值为    ．

Answer

先设Rt△ABC的直角边AC=a，根据△ABC是等腰直角三角形可知∠A=∠B=45°，再根据图形折叠的性质可知∠A=∠EDF=45°，由三角形外角的性质可知∠1+∠EDF=∠B+∠2，可求出∠1=∠2，在直角三角形CDF中设CF=x，利用勾股定理即可求解；
过D作DG⊥AB，在Rt△BDG中利用勾股定理可求出DG的长，再用相似三角形的判定定理可求出△EDG∽△DFC，由相似三角形的对应边成比例即可求解．
【解析】
设Rt△ABC的直角边AC=a，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∵△DEF是△AEF沿EF折叠而成，
∴∠A=∠FDE=∠B=45°，
∵∠2+∠B=∠1+∠FDE，∠FDE=∠B=45°
∴∠1=∠2，
∵D是BC的中点，
∴CD=，设CF=x，则AF=DF=a-x，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，DF2=CF2+CD2，即（a-x）2=x2+（）2，
解得x=，
∴DF=a-x=a-=，
∴sin∠1===，
∴sin∠2=，即sin∠BED的值为；
过D作DG⊥AB，
∵BD=，∠B=45°，
∴DG=BD•sin∠B=×=，
∵∠2=∠1，∠C=∠DGE，
∴△EDG∽△DFC，
∴===．
故答案为：，．