Question

n个正整数a₁，a₂，…，a_n满足如下条件：1=a₁＜a₂＜…＜a_n=2009；且a₁，a₂，…，a_n中任意n-1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．

Answer

设a1，a2，an中去掉ai后剩下的n-1个数的算术平均数为正整数bi，从而可推出n-1能整除（aj-ai），然后根据an-1=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）≥（n-1）+（n-1）+…+（n-1）=（n-1）2，可得出n的范围，从而结合题意可得出n的值．
【解析】
设a1，a2，an中去掉ai后剩下的n-1个数的算术平均数为正整数bi，i=1，2，n．即．
于是，对于任意的1≤i＜j≤n，都有，
从而n-1|（aj-ai），
由于是正整数，
故n-1|23×251，
由于an-1=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）≥（n-1）+（n-1）+…+（n-1）=（n-1）2，
所以，（n-1）2≤2008，于是n≤45，
结合n-1|23×251，所以，n≤9；
另一方面，令a1=8×0+1，a2=8×1+1，a3=8×2+1，a8=8×7+1，
a9=8×251+1，则这9个数满足题设要求．
综上所述，n的最大值为9．