Question

填空：
（1）方程（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）=24的根为    ．
（2）方程x³-3x+2=0的根为    ．
（3）方程x⁴+2x³-18x²-10x+25=0的根为    ．
（4）方程（x²+3x-4）²+（2x²-7x+6）²=（3x²-4x+2）²的根为    ．

Answer

（1）把（x+2）（x+3）和（x+1）（x+4）分别结合在一起，得到x2+5x+6和x2+5x+4，设y=x2+5x+4把方程降次，求出y的值，然后再求出x的值．（2）把方程化为（x3-1）-3（x-1）=0，利用立方差公式和提公因式分解因式，求出方程的根．（3）把方程用因式分解得到（x+5）（x-1）（x2-2x-5）=0，然后求出方程的根．（4）分析方程的结构，发现（x2+3x-4）+（2x2-7x+6）=3x2-4x+2，所以有（x2+3x-4）2+（2x2-7x+6）2=[（x2+3x-4）+（2x2-7x+6）]2，得到（x2+3x-4）（2x2-7x+6）=0，然后得到两个一元二次方程，求出方程有四个根．
【解析】
（1）原方程化为：（x2+5x+4）（x2+5x+6）-24=0
设y=x2+5x+4，得到：y2+2y-24=0
（y+6）（y-4）=0
∴y1=-6，y2=4．
当y1=-6时：x2+5x+4=-6，
即：x2+5x+10=0
△=25-40＜0，方程无解．
当y2=4时：x2+5x+4=4．
x（x+5）=0，
∴x1=0，x2=-5．
（2）原方程化为：（x3-1）-3（x-1）=0
（x-1）（x2+x+1）-3（x-1）=0
（x-1）（x2+x-2）=0
（x-1）（x+2）（x-1）=0
∴x1=x2=1，x3=-2．
（3）x4+2x3-18x2-10x+25=0
因式分解得：
（x+5）（x-1）（x2-2x-5）=0
∴x1=-5，x2=1，
当x2-2x-5=0时，得：x3=1+，x4=1-．
∴方程的解为：x1=-5，x2=1，x3=1+，x4=1-．
（4）（x2+3x-4）2+（2x2-7x+6）2=（3x2-4x+2）2=[（x2+3x-4）+（2x2-7x+6）]2
=（x2+3x-4）2+（2x2-7x+6）2+2（x2+3x-4）（2x2-7x+6）
∴2（x2+3x-4）（2x2-7x+6）=0
当x2+3x-4=0
（x+4）（x-1）=0
∴x1=-4，x2=1．
当2x2-7x+6=0
（2x-3）（x-2）=0
∴x3=，x4=2．
∴方程的解为：x1=-4，x2=1，x3=，x4=2．
故答案是：（1）x1=0，x2=-5．（2）x1=x2=1，x3=-2．（3）x1=-5，x2=1，x3=1+，x4=1-．（4）x1=-4，x2=1，x3=，x4=2．