Question

如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间（0≤t≤6），那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰三角形？
（2）设△QCP的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出当t为何值时，△QCP的面积有最小值？最小值是多少？
（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△PBC相似．

Answer

（1）要使△QAP为等腰三角形，令AQ=AP即可得出t的值；
（2）利用△QCP的面积为S=SABCD-SAPQ-SCBP-SCDQ即可求出s与t之间的函数关系式；
（3）使△QAP∽△PBC，△PAQ∽△PBC两种情况讨论即可得出以点Q、A、P为顶点的三角形与△PBC相似．
【解析】
（1）当△QAP为等腰三角形时，由于∠A为直角，只能是AQ=AP，
又∵AQ=6-t，AP=2t，
∴2t=6-t，
∴t=2．即当t=2时，△QAP为等腰三角形．

（2）依题意，得S=S矩形ABCD-S△QDC-S△QAP-S△PBC
整理，得S=t2-6t+36．
配方，得S=（t-3）2+27．
∴S与t之间的函数关系式为S=t2-6t+36．
当t=3时，S有最小值，最小值是27．

（3）AB=12，BC=6，
vP=2，vQ=1，
AP=vPt=2t
DQ=vQt=t
AQ=DA-DQ=6-t
BP=AB-AP=12-2t=2（6-t）
当△QAP∽△PBC时：
QA：PB=AP：BC
（6-t）：（12-2t）=2t：6
t=1.5
当△PAQ∽△PBC时：
PA：PB=AD：BC
2t：（12-2t）=（6-t）：6
（6-t）2=6t
t2-18t+36=0
（t-9）2=45
t=9±3
t=3+＞6，舍去
∴t=9-3
综上：t=1.5，或t=9-3．