Question

已知二次函数y=-x²+2x+m的图象与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左边），以AB为直径作⊙C，⊙C与y轴正半轴交于D，点P为劣弧上一动点，连接AP、BD两弦相交于点E，连接PB，AD，
（1）求点C的坐标；
（2）若⊙C的半径为3时，求m的值；
（3）请探索当点P运动到什么位置时，使得△ADE与△APB相似，并给予证明．

Answer

（1）由于C是圆心，即直径AB的中点，根据圆和抛物线的对称性知，C点即为抛物线对称轴与x轴的交点，根据抛物线的解析式易求得对称轴方程，由此可得C点坐标．
（2）已知了⊙C的半径，结合C点坐标，可得到A、B的坐标，即可用待定系数法求得m的值．
（3）由圆周角定理知：∠ADE=∠APB=90°，若△ADE与△APB相似，则必有∠DAP=∠PAB，因此只有当P点运动到劣弧BD的中点时，此题的条件才成立．
【解析】
（1）由抛物线的解析式可得对称轴为：x=1；
由于A、B是抛物线与x轴的交点，且AB是⊙C的直径，由抛物线和圆的对称性知：C（1，0）．

（2）若⊙C的半径为3，则A（-2，0），B（4，0）；
则抛物线的解析式为：y=-（x+2）（x-4）=-x2+2x+8；
故m=8．

（3）当P点运动到劣弧BD的中点时，△ADE与△APB相似；
证明：如图；
∵P是劣弧BD的中点，
∴∠DAP=∠PAB；
又∵AB是⊙C的直径，
∴∠ADE=∠APB=90°，
∴△ADE∽△APB．