Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC=BC于E，过C、E、D三点作圆交AE于G，CD与AE交于F，求证：AG=FG．

Answer

连接GD，由题中条件可得Rt△CDB∽Rt△ACB，又有角平分线得出∠DAG与∠ADG的关系，进而通过角之间的转化，得出∠DFG=∠GDF，即可得出结论．
证明：如图，连接GD，
则∠DCE=∠DGE=∠DAG+∠ADG，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
∴∠BDC=∠ADC，
∵∠ACB=∠BCD+∠ACD=90°，
∠DAC+∠ACD=90°
∴∠DAC=∠BCD，
∠BCD=∠DAC，
∴Rt△CDB∽Rt△ACB
∴∠DCE=∠DCB=∠BAC=2•∠DAG
故∠DAG+∠ADG=2•∠DAG，∠ADG=∠DAG，∴AG=GD，
又∠DFG+∠DAF=90°=∠GDF+∠ADG，
∴∠DFG=∠GDF，故GD=GF，
∴AG=GF．