Question

AB为定⊙O的定弦，但不是直径作⊙O的弦C_iD_i（i=1，2，…1999）使得所有C_iD_i都被弦AB平分于M_i，过C_iD_i作⊙O的切线交于P_i，求证：P₁，P₂，…，P₁₉₉₉共圆．

Answer

如图，对每个Pi，我们只要证明Pi总在△OAB的外接圆上即可．连接OCi，ODi，由PiCi，PiDi是切线可以得到Ci与Di关于OPi对称，由Mi是CiDi的中点，所以OPi过Mi，由AB与CiDi相交于Mi，由相交弦定理可以得到AMi•BMi=CiMi•DiMi（1），又∠OCiPi=∠ODiPi=90°，可以得到O、Ci、Di、Pi四点共圆．然后利用同样方法可以证明A、O、B、Pi四点共圆，这样可以证明题目的结论．
如图，对每个Pi，我们证明：Pi总在△OAB的外接圆上．
连接OCi，ODi，由PiCi，PiDi是切线知：Ci与Di关于OPi对称，
由Mi是CiDi的中点，所以OPi过Mi，
由AB与CiDi相交于Mi，由相交弦定理，得：
AMi•BMi=CiMi•DiMi（1）
又∠OCiPi=∠ODiPi=90°
∴O、Ci、Di、Pi四点共圆．
由相交弦定理，得CiMi•DiMi=OMi•PiMi（2）
由（1）（2）得AMi•BMi=OMi•PiMi，
∴A、O、B、Pi四点共圆．
故每个Pi都在△AOB的外接圆上，因此所有P1，P2，P1999共圆．