Question

关于x的方程kx²-（k-1）x+1=0有有理根，求整数k的值．

Answer

先要讨论k的取值确定方程，（1）k=0，方程为一元一次方程，显然有有理根；（2）k≠0，方程为一元二次方程，要有理根，则△=（k-1）2-4k=k2-6k+1必为完全平方数，可设k2-6k+1=m2（m非负整数），变形为：（k-3+m）（k-3-m）=8，然后利用m，k都为整数，运用整数的性质，转化为两个二元一次方程组求解即可．
【解析】
（1）当k=0时，x=-1，方程有有理根．

（2）当k≠0时，因为方程有有理根，
所以若k为整数，则△=（k-1）2-4k=k2-6k+1必为完全平方数，
即存在非负整数m，使k2-6k+1=m2．
配方得：（k-3+m）（k-3-m）=8，
由k-3+m和k-3-m是奇偶相同的整数，其积为8，
所以它们均是偶数．又k-3+m≥k-3-m．
从而或
解得k=6或k=0（舍去），综合（1）（2），
所以方程kx2-（k-1）x+1=0有有理根，整数k的值为0或6．