Question

如图，⊙O′与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，圆心O′的坐标为（1，-1），半径为．
（1）求A，B，C，D四点的坐标；
（2）求经过点D的切线解析式；
（3）问过点A的切线与过点D的切线是否垂直？若垂直，请写出证明过程；若不垂直，试说明理由．

Answer

（1）过O′作O′H⊥x轴于H，连接OB，在Rt△O′BH中，由O′的坐标可得出O′H的长，即可由勾股定理求得BH的长，进而可由垂径定理求出OA的长，即可得到A、B的坐标；同理可求出C、D的坐标；
（2）设过D的切线交x轴于E，设EA=x，即可表示出OE、EB的长；可分别用切割线定理及勾股定理得出DE2的表达式，联立两式即可求出x的值，也就得到了E点的坐标；进而可利用待定系数法求出直线DE的解析式；
（3）由（1）易得AB=CD，则弧AB=弧CD，由弦切角定理即可得到∠NAO=∠MDN；而∠NAO与∠ANO互余，则∠MDN也与∠ANO互余，由此得证．
【解析】
（1）连接O'B，过点O'分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、如图
∵BH==2，
∴OB=3，
∴点B的坐标为（3，0）；（1分）
∵AH=BH=2，OH=1，
∴点A的坐标为（-1，0），（2分）
类似地，可得到点C、D的坐标分别为（0，1），（0，-3）；（4分）

（2）设过点D的切线交x轴于点E，EA=x，
则DE2=EA•EB=x（x+4）；
又在Rt△DOE中，DE2=EO2+DO2=（x+1）2+32，
∴（x+1）2+32=x（x+4）；（6分）
解得x=5，即EA=5，点E的坐标为（-6，0）；（7分）
设所求切线的解析式为y=kx+b，因为它经过（0，-3）和（-6，0）两点，
则解得
∴所求解析式为y--3；（8分）

（3）答：过点A的切线与过点D的切线互相垂直．证明如下：（9分）
证明：设过点A的切线与DE相交于点M，与y轴相交于点N；
∵AB=CD=4，即有
∴∠NAO=∠MDO；（10分）
又∵∠NAO+∠ANO=90°，
∴∠MND+∠MDN=90°；
∴过点A的切线与过点D的切线互相垂直．（11分）