Question

如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（-2，0），B（6，0），C（0，3）．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）过C点作CD平行于x轴交抛物线于点D，写出D点的坐标，并求AD、BC的交点E的坐标；
（3）若抛物线的顶点为P，连接PC、PD，判断四边形CEDP的形状，并说明理由．

Answer

（1）由A、B、C三点的坐标适合抛物线的解析式，从而用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）联立直线AD、BC的解析式，求出交点E的坐标；
（3）四边形CEDP为菱形，可根据P、C、E、D四点的坐标，证四边形CEDP的对角线互相垂直平分．
【解析】
（1）由于抛物线经过点C（0，3），
可设抛物线的解析式为y=ax2+bx+3（a≠0），
则，
解得；
∴抛物线的解析式为．（4分）

（2）∵D纵=C纵=3，
∴D横=4
即可得D的坐标为D（4，3），（5分）
直线AD的解析式为，
直线BC的解析式为，
由求得交点E的坐标为（2，2）．（8分）

（3）连接PE交CD于F，
P的坐标为（2，4），
又∵E（2，2），C（0，3），D（4，3），
∴PF=EF=1，CF=FD=2，且CD⊥PE，
∴四边形CEDP是菱形．（12分）